METODE PERKALIAN MATRIKS ELEMENTER DAN METODE PARTISI MATRIKS

A.METODE PERKALIAN MATRKS ELEMENTER

MATRIKS ELEMENTER DAN METODE UNTUK MENCARI A^-1

Suatu matriks berukuran n x n dinamakan matriks elementer jika matriks tersebut dapat diperoleh dari matriks satuan (identitas) n x n yakni I_n dengan melakukan operasi baris elementer tunggal.

Kalikan baris kedua dari I2 dengan -3

Berikut empat matriks elementer dan operasi-operasi yang menghasilkannya.
1)      1        0
0               -3
2)

Pertukarkan baris kedua dan baris keempat I4

1        0        0        0
0        0        0        1
0        0        1        0
0        1        0        0
3)

Tambahkan tiga kali baris ketiga dari I3 pada baris pertama

1        0        3
0        1        0
0        0        1
4)

Kalikan baris pertama dari I3 dengan 1

1        0        0
0        1        0
0        0        1

Jika matriks elementer E dihasilkan dengan melakukan suatu operasi baris elementer tertentu pada I_n dan jika A adalah matriks m x n, maka hasil kali EA adalah matriks yang dihasilkan bila operasi baris yang sama ini dilakukan pada matriks A.

Tinjaulah matriks-matriks berikut:
1        0       2        3
 A =     2        -1      3        6
1        4       4        0
Dan tinjaulah matriks elementer dibawah ini:
1        0       0
 E =     0        1       0
3        0       1
Yang dihasilkan oleh penambahan 3 kali baris pertama dari I₃ ke baris ketiga. Hasil kali EA adalah:
1        0       2        3
EA =   2        -1      3        6
4        4       10      9
yang persis sama seperti matriks yang dihasilkan bila kita menambahkan 3 kali baris pertama dari A ke baris ketiga.

Setiap matriks elementer dapat dibalik, dan inversnya adalah juga matriks elementer.

Jika A adalah matriks n x n, maka pernyaaan-pernyataan berikut ekuivalen, yakni semua benar atau semuanya salah.
a)      A dapat dibalik
b)      AX = 0 hanya mempunyai pemecahan trivial
c)      A ekuivalen baris dengan I_n

Carilah invers dari matriks berikut dengan menggunakan operasi-operasi baris;
1        2        3
  A  =       2        5        3
1        0        8
Penyelesaian :
[ A | I ] à OBE à [ I | A^-1]
Perhitungan dapat dilaksanakan sebagai berikut:

Gandengkan matriks satuan I3, sebelah kanan matriks A

1     2     3     1     0     0
2     5     3     0     1     0
1     0     8     0     0     1

Tambahkan -2 kali baris pertama pada baris kedua dan -1 kali baris pertama pada baris ketiga

B₁(-2)+B₂ dan B₁(-1)+B₃
1     2     3     1     0     0
0     1     -3    -2    1     0
0     -2    5     -1    0     1
B₂(2)+B₃

Tambahkan 2 kali baris kedua pada baris ketiga

1     2     3     1     0     0
0     1     -3    -2    1     0
0     0     -1    -5    2     1
B₃(-1)

Kalikan baris ketiga dengan –1.

1     2     3     1     0     0
0     1     -3    -2    1     0
0     0     1     5     -2    -1

Tambahkan 3 kali baris ketiga pada baris kedua dan –3 kali baris ketiga pada baris pertama

B₃(-3)+B₁ dan B₃(3)+B₂
1     2     0     -14  6    3
0     1     0     13   -5    -3
0     0     1     5     -2    -1
B₂(-2)+B₁

Tambahkan -2 kali baris kedua pada baris pertama

1     0     0     -40  16   9
0     1     0     13   -5    -3
0     0     1     5     -2    -1
Jadi,
-40    16      9
A^-1 =    13      -5      -3
5        -2      -1

B.METODE PARTISI MATRIKS

Matriks partisi adalah membagi matriks menjadi beberapa matriks yang ukurannya lebih kecil dengan memasukan garis horizontal dan vertikal antara baris dan kolom matriks.

Matriks-matriks yang ukurannya kecil hasil partisi matriks disebut sub matriks.

Partisi matriks digunakan untuk menyederhanakan matriks yang ukurannya besar menjadi matriks kecil sehingga lebih mudah dioperasikan untuk tujuan tertentu.

Setiap sub matriks hasil partisi selalu dapat dikembalikan ke dalam matriks asalnya.

Latihan 5.2 (perkalian partisi)

Diberikan

Solusi :

Jadikan Z₁ menjadi matriks (m + n ) x (p + q) dan Z₂ matriks (p +q) x (r + s) , sehingga A₁ merupakan aturan m × p dan A₂ merupakan aturan p × r. Kemudian semua submatriks didefinisikan dengan baik. Dengan aturan perkalian matriks biasa kita mmpunyai

Contoh lain.... ^_^

maka