MATRIKS: Oktober 2018

TEKNIK MENGHITUNG MATRIKS:

A.Metode Adjoint

$A^{-1} = \dfrac{1}{det(A)} Adj(A)$

Jadi, dalam menggunakan metode ini, untuk mencari invers suatu matriks, yang dibutuhkan adalah Determinan Matriks itu sendiri dan Adjoin Matriks. Perhatikan contoh berikut.

Contoh 1.

Tentukan invers matriks dari $A = \begin{bmatrix} 2&-1&3\\ 0&4&5\\ 2&1&4 \end{bmatrix}$ .

Karena $A$ matriks $3 \times 3$ , maka untuk mudahnya dalam menentukan determinan, digunakan Metode Sarrus.

$det(A) = 2(4)(4) + (-1)(5)(2) + 3(0)(1)-2(4)(3)-1(5)(2)-4(0)(-1)$

$= 32 -10 + 0-24-10-0$

$= -12$

Selanjutnya akan ditentukan $Adj(A)$ , tapi sebelumnya akan ditentukan Kofaktor matriks $A$ .

Kofaktor dari $a_{11}$ adalah

$C_{11} = (-1)^{1+1} M_{11}$

$= \begin{vmatrix} 4& 5\\ 1& 4 \end{vmatrix} = 4(4)-1(5) = 11$

Kofaktor dari $a_{12}$ adalah

$C_{12} = (-1)^{1+2} M_{12}$

$= -1\begin{vmatrix} 0& 5\\ 2& 4 \end{vmatrix} = -1(0(4)-2(5)) = 10$

Kofaktor dari $a_{13}$ adalah

$C_{13} = (-1)^{1+3} M_{13}$

$= \begin{vmatrix} 0& 4\\ 2& 1 \end{vmatrix} = 0(1)-2(4) = -8$

Kofaktor dari $a_{21}$ adalah

$C_{21} = (-1)^{2+1} M_{21}$

$= -1\begin{vmatrix} -1&3\\ 1&4 \end{vmatrix} = -1(-1(4)-1(3)) = 7$

Kofaktor dari $a_{22}$ adalah

$C_{22} = (-1)^{2+2} M_{22}$

$= \begin{vmatrix} 2&3\\ 2&4 \end{vmatrix} = 2(4)-2(3)) = 2$

Kofaktor dari $a_{23}$ adalah

$C_{23} = (-1)^{2+3} M_{23}$

$= -1\begin{vmatrix} 2&-1\\ 2&1 \end{vmatrix} = -1(2(1)-2(-1)) = -4$

Kofaktor dari $a_{31}$ adalah

$C_{31} = (-1)^{3+1} M_{31}$

$= \begin{vmatrix} -1&3\\ 4&5 \end{vmatrix} = -1(5)-4(3) = -17$

Kofaktor dari $a_{32}$ adalah

$C_{32} = (-1)^{3+2} M_{32}$

$= -1\begin{vmatrix} 2&3\\ 0&5 \end{vmatrix} = -1(2(5)-0(3)) = -10$

Kofaktor dari $a_{33}$ adalah

$C_{33} = (-1)^{3+3} M_{33}$

$= \begin{vmatrix} 2&-1\\ 0&4 \end{vmatrix} = 2(5)-0(3) = 10$

Oleh karena itu, matriks kofaktor dari $A$ adalah $\begin{bmatrix} 11&10&-8\\ 7&2&0\\ -17&-10&10 \end{bmatrix}$ . Karena $Adj(A)$ adalah transpose dari matriks kofaktor, berakibat $Adj(A) = \begin{bmatrix} 11&7&-17\\ 10&2&-10\\ -8&-4&10 \end{bmatrix}$ . Sehingga diperoleh invers matriks $A$ adalah $A^{-1} = -\dfrac{1}{12} \begin{bmatrix} 11&7&-17\\ 10&2&-10\\ -8&-4&10 \end{bmatrix}$ .

Contoh 2.

Tentukan invers matriks dari $B = \begin{bmatrix} 8&-3&-5\\ 0&1&2\\ 4&-7&6 \end{bmatrix}$ .

Pada contoh ini, kita akan Menghitung Determinan Matriks Menggunakan Kofaktor. Tapi sebelumnya akan ditentukan Kofaktor matriks $B$ .

Kofaktor dari $a_{11}$ adalah

$C_{11} = (-1)^{1+1} M_{11}$

$= \begin{vmatrix} 1&2\\ -7&6 \end{vmatrix} = 1(6)-2(-7) = 20$

Kofaktor dari $a_{12}$ adalah

$C_{12} = (-1)^{1+2} M_{12}$

$= -1\begin{vmatrix} 0&2\\ 4&6 \end{vmatrix} = -1(0(6)-2(4)) = 8$

Kofaktor dari $a_{13}$ adalah

$C_{13} = (-1)^{1+3} M_{13}$

$= \begin{vmatrix} 0&1\\ 4&-7 \end{vmatrix} = 0(-7)-1(4) = -4$

Kofaktor dari $a_{21}$ adalah

$C_{21} = (-1)^{2+1} M_{21}$

$= -1\begin{vmatrix} -3&-5\\ -7&6 \end{vmatrix} = -1(-3(6)-(-7)(-5)) = -17$

Kofaktor dari $a_{22}$ adalah

$C_{22} = (-1)^{2+2} M_{22}$

$= \begin{vmatrix} 8&-5\\ 4&6 \end{vmatrix} = 8(6)-4(-5) = 68$

Kofaktor dari $a_{23}$ adalah

$C_{23} = (-1)^{2+3} M_{23}$

$= -1\begin{vmatrix} 8&-3\\ 4&-7 \end{vmatrix} = -1(8(-7)-4(-3)) = 44$

Kofaktor dari $a_{31}$ adalah

$C_{31} = (-1)^{3+1} M_{31}$

$= \begin{vmatrix} -3&-5\\ 1&2 \end{vmatrix} = -3(2)-1(-5) = -1$

Kofaktor dari $a_{32}$ adalah

$C_{32} = (-1)^{3+2} M_{32}$

$= -1\begin{vmatrix} 8&-5\\ 0&2 \end{vmatrix} = -1(8(2)-0(-5)) = -16$

Kofaktor dari $a_{33}$ adalah

$C_{33} = (-1)^{3+3} M_{33}$

$= \begin{vmatrix} 8&-3\\ 0&1 \end{vmatrix} = 8(1)-0(-3)) = 8$

Oleh karena itu, diperoleh

$det(B) = a_{21}C_{21} + a_{22}C_{22} + a_{23}C_{23}$

$= 0(-17) + 1(68) + 2(44)$

$= 68+88$

$= 156$

Selanjutnya diperoleh matriks kofaktor dari $B$ adalah $\begin{bmatrix} 20&8&-4\\ -17&68&44\\ -1&-16&8 \end{bmatrix}$ . Karena $Adj(A)$ adalah transpose dari matriks kofaktor, berakibat $Adj(B) = \begin{bmatrix} 20&-17&-1\\ 8&68&-16\\ -4&-16&8 \end{bmatrix}$ . Sehingga diperoleh invers matriks $B$ adalah $B^{-1} = \dfrac{1}{156} \begin{bmatrix} 20&-17&-1\\ 8&68&-16\\ -4&-16&8 \end{bmatrix}$ .

Contoh 3.

Tentukan invers matriks dari $C = \begin{bmatrix} 1&-1&1\\ 2&3&0\\ 0&2&-1 \end{bmatrix}$ .

Pada contoh ini, kita akan Menghitung Determinan Matriks dengan Eselon Baris. Perhatikan,

1. Baris Kedua : $B_2-2B_1$

$\begin{bmatrix} 1&-1&1\\ 0&5&-2\\ 0&2&-1 \end{bmatrix}$

2. Baris Ketiga : $B_3-\dfrac{2}{5}B_2$

$\begin{bmatrix} 1&-1&1\\ 0&5&-2\\ 0&0&-\dfrac{1}{5} \end{bmatrix}$

Jadi, $set(B) = 1 \cdot 5 \cdot -\dfrac{1}{5} = -1$

Selanjutnya akan ditentukan Kofaktor matriks $B$ .

Kofaktor dari $a_{11}$ adalah

$C_{11} = (-1)^{1+1} M_{11}$

$= \begin{vmatrix} 3&0\\ 2&-1 \end{vmatrix} = 3(-1)-0(2) = -3$

Kofaktor dari $a_{12}$ adalah

$C_{12} = (-1)^{1+2} M_{12}$

$= -1\begin{vmatrix} 2&0\\ 0&-1 \end{vmatrix} = -1(2(-1)-0(0)) = 2$

Kofaktor dari $a_{13}$ adalah

$C_{13} = (-1)^{1+3} M_{13}$

$= \begin{vmatrix} 2&3\\ 0&2 \end{vmatrix} = 2(2)-3(0) = 4$

Kofaktor dari $a_{21}$ adalah

$C_{21} = (-1)^{2+1} M_{21}$

$= -1\begin{vmatrix} -1&1\\ 2&-1 \end{vmatrix} = -1(-1(-1)-1(2)) = 1$

Kofaktor dari $a_{22}$ adalah

$C_{22} = (-1)^{2+2} M_{22}$

$= \begin{vmatrix} 1&1\\ 0&-1 \end{vmatrix} = 1(-1)-1(0) = -1$

Kofaktor dari $a_{23}$ adalah

$C_{23} = (-1)^{2+3} M_{23}$

$= -1\begin{vmatrix} 1&-1\\ 0&2 \end{vmatrix} = -1(1(2)-0(-1)) = -2$

Kofaktor dari $a_{31}$ adalah

$C_{31} = (-1)^{3+1} M_{31}$

$= \begin{vmatrix} -1&1\\ 3&0 \end{vmatrix} = -1(0)-1(3) = -3$

Kofaktor dari $a_{32}$ adalah

$C_{32} = (-1)^{3+2} M_{32}$

$= -1\begin{vmatrix} 1&1\\ 2&0 \end{vmatrix} = -1(1(0)-1(2)) = 2$

Kofaktor dari $a_{33}$ adalah

$C_{33} = (-1)^{3+3} M_{33}$

$= \begin{vmatrix} 1&-1\\ 2&3 \end{vmatrix} = 1(3)-2(-1) = 5$

Oleh karena itu, diperoleh matriks kofaktor dari $C$ adalah $\begin{bmatrix} -3&2&4\\ 1&-1&-2\\ -3&2&5 \end{bmatrix}$ . Karena $Adj(A)$ adalah transpose dari matriks kofaktor, berakibat $Adj(C) = \begin{bmatrix} -3&1&-3\\ 2&-1&2\\ 4&-2&5 \end{bmatrix}$ . Sehingga diperoleh invers matriks $B$ adalah $B^{-1} = \dfrac{1}{-1} \begin{bmatrix} -3&1&-3\\ 2&-1&2\\ 4&-2&5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3&-1&3\\ -2&1&-2\\ -4&2&-5 \end{bmatrix}$ .

B.Operasi Elementer Baris

uatu matriks dapat dibalik jika dan hanya jika matriks tersebut adalah matriks persegi (matriks yang berukuran n x n) dan matriks tersebut non-singular (determinan $\neq$ 0). Tidak semua matriks memiliki invers. Invers matriks dapat didefinisikan sebagai berikut.

Definisi :

Jika A adalah suatu matriks kuadrat, dan jika kita dapat mencari matriks B sehingga AB = BA = I, maka A dikatakan dapat dibalik (invertible) dan B dinamakan invers dari A

Contoh 1 :

Hitung invers matriks A_2×2 berikut A = $\left [ \begin{array}{rr}3 & 5\\ 1 & 2\end{array} \right ]$ .

Penyelesaian :

Jika kita punya matriks 2×2, misal A = $\left [ \begin{array}{rr}a & b\\ c & d\end{array} \right ]$ , maka invers matriks dapat dihitung menggunakan rumus

A^-1 = B = $\frac{1}{det \quad A}$ $\left [ \begin{array}{rr}d & -b\\ -c & a\end{array} \right ]$

= $\frac{1}{3(2)-5(1)}$ $\left [ \begin{array}{rr}2 & -5\\ -1 & 3\end{array} \right ]$

= $\left [ \begin{array}{rr}2 & -5\\ -1 & 3\end{array} \right ]$

Cek, apakah AB = BA = I

AB = $\left [ \begin{array}{rr}3 & 5\\ 1 & 2\end{array} \right ]$ $\left [ \begin{array}{rr}2 & -5\\ -1 & 3\end{array} \right ]$ = $\left [ \begin{array}{rr}1 & 0\\ 0 & 1\end{array} \right ]$ = I

BA = $\left [ \begin{array}{rr}2 & -5\\ -1 & 3\end{array} \right ]$ $\left [ \begin{array}{rr}3 & 5\\ 1 & 2\end{array} \right ]$ = $\left [ \begin{array}{rr}1 & 0\\ 0 & 1\end{array} \right ]$ = I

Karena AB = BA = I, maka berdasarkan Definisi, B adalah invers dari matriks A.

Bagaimana cara menghitung invers jika matriksnya memiliki ordo lebih dari 2? Misal matriks 3×3, 4×4, dan seterusnya. Pada matriks yang berordo lebih dari dua ini kita akan memanfatkan Eliminasi Gauss Jordan.

Contoh 2 :

Carilah invers matriks 3×3 yaitu A = $\left [\begin{array}{rrr} 1& 2& 3\\ 2& 5& 3\\ 1& 0& 8 \end{array} \right ]$

Penyelesaian :

Susun matriks sedemikian sehingga seperti dibawah ini.

$\left[ \left.\begin{matrix} 1& 2& 3\\ 2& 5& 3\\ 1& 0& 8 \end{matrix}\right| \begin {array}{rrr} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end {array}\right]$

Matriks disebelah kiri adalah matriks A dan sebelah kanan adalah matriks identitas. Kemudian lakukan Operasi Baris Elementer sedemikan sehingga matriks sebelah kiri menjadi matriks identitas dan matriks identitas (pada sebelah kanan) yang akan menjadi invers matriks tersebut.

baris kedua : B₂ + (-2B₁) [artinya baris kedua dijumlahkan dengan -2 kali baris pertama]

baris ketiga : B₃ + (-B₁) [artinya baris kedua dijumlahkan dengan -1 kali baris pertama]

$\left[ \left.\begin{matrix} 1& 2& 3\\ 0& 1& -3\\ 0& -2& 5 \end{matrix}\right| \begin {array}{rrr} 1& 0& 0\\ -2& 1& 0\\ -1& 0& 1\end {array}\right]$
baris ketiga : B₃ + 2B₂ [artinya baris ketiga dijumlahkan dengan 2 kali baris kedua]

$\left[ \left.\begin{matrix} 1& 2& 3\\ 0& 1& -3\\ 0& 0& -1 \end{matrix}\right| \begin {array}{rrr} 1& 0& 0\\ -2& 1& 0\\ -5& 2& 1\end {array}\right]$
baris ketiga : B₃ x (-1) [artinya baris ketiga dikali dengan -1]

$\left[ \left.\begin{matrix} 1& 2& 3\\ 0& 1& -3\\ 0& 0& 1 \end{matrix}\right| \begin {array}{rrr} 1& 0& 0\\ -2& 1& 0\\ 5& -2& -1\end {array}\right]$
baris kedua : B₂ + 3B₃ [artinya baris kedua dijumlahkan dengan 3 kali baris ketiga]

baris pertama : B₁ + (-3B₃) [artinya baris pertama dijumlahkan dengan -3 kali baris ketiga]

$\left[ \left.\begin{matrix} 1& 2& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{matrix}\right| \begin {array}{rrr} -14& 6& 3\\ 13& -5& -3\\ 5& -2& -1\end {array}\right]$
baris pertama : B₁ + (-2B₂) [artinya baris pertama dijumlahkan dengan -2 kali baris kedua]

$\left [ \left.\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{matrix}\right|\begin{matrix} -40& 16& 9\\ 13& -5& -3\\ 5& -2& -1 \end{matrix} \right ]$

$\left[ \left.\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{matrix}\right| \begin {array}{rrr} -40& 16& 9\\ 13& -5& -3\\ 5& -2& -1\end {array}\right]$

Karena matriks kiri sudah terbentuk menjadi matriks identitas, maka invers dari matriks A adalah A^-1 = $\left [\begin{matrix} -40& 16& 9\\ 13& -5& -3\\ 5& -2& -1 \end{matrix} \right ]$

Contoh 3 :

Periksa apakah matriks A_3×3 memiliki invers? Jika, tentukan inversnya, dengan A = $\left [\begin{matrix} 3& 1& 5\\ 2& 4& 1\\ -4& 2& -9 \end{matrix} \right ]$ .

Penyelesaian :

Susun matriks sedemikian sehingga seperti dibawah ini, kemudian lakukan Operasi Baris Elementer

$\left [ \left.\begin{matrix} 3& 1& 5\\ 2& 4& 1\\ -4& 2& -9\end{matrix}\right|\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{matrix} \right ]$

baris pertama : B₁ x (1/3)

$\left [ \left.\begin{matrix} 1& 1/3& 5/3\\ 2& 4& 1\\ -4& 2& -9\end{matrix}\right|\begin{matrix} 1/3& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{matrix} \right ]$
baris kedua : B₂ + (-2B₁)

baris ketiga : B₃ + 4B₁

$\left [ \left.\begin{matrix} 1& 1/3& 5/3\\ 0& 10/3& -7/3\\ 0& 10/3& -7/3\end{matrix}\right|\begin{matrix} 1/3& 0& 0\\ -2/3& 1& 0\\ 4/3& 0& 1 \end{matrix} \right ]$

Perhatikan matriks sebebelah kiri pada baris kedua dan ketiga. Karena baris kedua dan ketiga memiliki entry yang sama, ini mengakibatkan matriks tersebut memiliki dterminannya nol, sehingga matriks tersebut tidak memiliki invers.

MATRIKS

Senin, 08 Oktober 2018

TEKNIK MENGHITUNG INVERS MATRIKS

METODE PERKALIAN MATRIKS ELEMENTER DAN METODE PARTISI MATRIKS

Laporkan Penyalahgunaan