MATRIKS

A.METODE PERKALIAN MATRKS ELEMENTER

MATRIKS ELEMENTER DAN METODE UNTUK MENCARI A^-1

Suatu matriks berukuran n x n dinamakan matriks elementer jika matriks tersebut dapat diperoleh dari matriks satuan (identitas) n x n yakni I_n dengan melakukan operasi baris elementer tunggal.

Kalikan baris kedua dari I₂ dengan -3

Berikut empat matriks elementer dan operasi-operasi yang menghasilkannya.
1) 1 0
0 -3
2)

Pertukarkan baris kedua dan baris keempat I₄

1        0        0        0
0        0        0        1
0        0        1        0
0        1        0        0
3)

Tambahkan tiga kali baris ketiga dari I₃ pada baris pertama

1        0        3
0        1        0
0        0        1
4)

Kalikan baris pertama dari I₃ dengan 1

1        0        0
0        1        0
0        0        1

Jika matriks elementer E dihasilkan dengan melakukan suatu operasi baris elementer tertentu pada I_n dan jika A adalah matriks m x n, maka hasil kali EA adalah matriks yang dihasilkan bila operasi baris yang sama ini dilakukan pada matriks A.

Tinjaulah matriks-matriks berikut:
1        0       2        3
A =     2        -1      3        6
1        4       4        0
Dan tinjaulah matriks elementer dibawah ini:
1        0       0
E =     0        1       0
3        0       1
Yang dihasilkan oleh penambahan 3 kali baris pertama dari I₃ ke baris ketiga. Hasil kali EA adalah:
1        0       2        3
EA =   2        -1      3        6
4        4       10      9
yang persis sama seperti matriks yang dihasilkan bila kita menambahkan 3 kali baris pertama dari A ke baris ketiga.

Setiap matriks elementer dapat dibalik, dan inversnya adalah juga matriks elementer.

Jika A adalah matriks n x n, maka pernyaaan-pernyataan berikut ekuivalen, yakni semua benar atau semuanya salah.
a)      A dapat dibalik
b)      AX = 0 hanya mempunyai pemecahan trivial
c)      A ekuivalen baris dengan I_n

Carilah invers dari matriks berikut dengan menggunakan operasi-operasi baris;
1        2        3
A =       2        5        3
1        0        8
Penyelesaian :
[ A | I ] à OBE à [ I | A^-1]
Perhitungan dapat dilaksanakan sebagai berikut:

Gandengkan matriks satuan I₃, sebelah kanan matriks A

1     2     3     1     0     0
2     5     3     0     1     0
1     0     8     0     0     1

Tambahkan -2 kali baris pertama pada baris kedua dan -1 kali baris pertama pada baris ketiga

B₁(-2)+B₂dan B₁(-1)+B₃
1     2     3     1     0     0
0     1     -3    -2    1     0
0     -2    5     -1    0     1
B₂(2)+B₃

Tambahkan 2 kali baris kedua pada baris ketiga

1     2     3     1     0     0
0     1     -3    -2    1     0
0     0     -1    -5    2     1
B₃(-1)

Kalikan baris ketiga dengan –1.

1     2     3     1     0     0
0     1     -3    -2    1     0
0     0     1     5     -2    -1

Tambahkan 3 kali baris ketiga pada baris kedua dan –3 kali baris ketiga pada baris pertama

B₃(-3)+B₁dan B₃(3)+B₂
1     2     0     -14 6    3
0     1     0     13   -5    -3
0     0     1     5     -2    -1
B₂(-2)+B₁

Tambahkan -2 kali baris kedua pada baris pertama

1     0     0     -40 16   9
0     1     0     13   -5    -3
0     0     1     5     -2    -1
Jadi,
-40    16      9
A^-1 =    13      -5      -3
5        -2      -1

B.METODE PARTISI MATRIKS

Matriks partisi adalah membagi matriks menjadi beberapa matriks yang ukurannya lebih kecil dengan memasukan garis horizontal dan vertikal antara baris dan kolom matriks.

Matriks-matriks yang ukurannya kecil hasil partisi matriks disebut sub matriks.

Partisi matriks digunakan untuk menyederhanakan matriks yang ukurannya besar menjadi matriks kecil sehingga lebih mudah dioperasikan untuk tujuan tertentu.

Setiap sub matriks hasil partisi selalu dapat dikembalikan ke dalam matriks asalnya.

Latihan 5.2 (perkalian partisi)

Diberikan

Solusi :

Jadikan Z₁ menjadi matriks (m + n ) x (p + q) dan Z₂ matriks (p +q) x (r + s) , sehingga A₁ merupakan aturan m × p dan A₂ merupakan aturan p × r. Kemudian semua submatriks didefinisikan dengan baik. Dengan aturan perkalian matriks biasa kita mmpunyai

Contoh lain.... ^_^

maka

TEKNIK MENGHITUNG MATRIKS:

A.Metode Adjoint

$A^{-1} = \dfrac{1}{det(A)} Adj(A)$

Jadi, dalam menggunakan metode ini, untuk mencari invers suatu matriks, yang dibutuhkan adalah Determinan Matriks itu sendiri dan Adjoin Matriks. Perhatikan contoh berikut.

Contoh 1.

Tentukan invers matriks dari $A = \begin{bmatrix} 2&-1&3\\ 0&4&5\\ 2&1&4 \end{bmatrix}$ .

Karena $A$ matriks $3 \times 3$ , maka untuk mudahnya dalam menentukan determinan, digunakan Metode Sarrus.

$det(A) = 2(4)(4) + (-1)(5)(2) + 3(0)(1)-2(4)(3)-1(5)(2)-4(0)(-1)$

$= 32 -10 + 0-24-10-0$

$= -12$

Selanjutnya akan ditentukan $Adj(A)$ , tapi sebelumnya akan ditentukan Kofaktor matriks $A$ .

Kofaktor dari $a_{11}$ adalah

$C_{11} = (-1)^{1+1} M_{11}$

$= \begin{vmatrix} 4& 5\\ 1& 4 \end{vmatrix} = 4(4)-1(5) = 11$

Kofaktor dari $a_{12}$ adalah

$C_{12} = (-1)^{1+2} M_{12}$

$= -1\begin{vmatrix} 0& 5\\ 2& 4 \end{vmatrix} = -1(0(4)-2(5)) = 10$

Kofaktor dari $a_{13}$ adalah

$C_{13} = (-1)^{1+3} M_{13}$

$= \begin{vmatrix} 0& 4\\ 2& 1 \end{vmatrix} = 0(1)-2(4) = -8$

Kofaktor dari $a_{21}$ adalah

$C_{21} = (-1)^{2+1} M_{21}$

$= -1\begin{vmatrix} -1&3\\ 1&4 \end{vmatrix} = -1(-1(4)-1(3)) = 7$

Kofaktor dari $a_{22}$ adalah

$C_{22} = (-1)^{2+2} M_{22}$

$= \begin{vmatrix} 2&3\\ 2&4 \end{vmatrix} = 2(4)-2(3)) = 2$

Kofaktor dari $a_{23}$ adalah

$C_{23} = (-1)^{2+3} M_{23}$

$= -1\begin{vmatrix} 2&-1\\ 2&1 \end{vmatrix} = -1(2(1)-2(-1)) = -4$

Kofaktor dari $a_{31}$ adalah

$C_{31} = (-1)^{3+1} M_{31}$

$= \begin{vmatrix} -1&3\\ 4&5 \end{vmatrix} = -1(5)-4(3) = -17$

Kofaktor dari $a_{32}$ adalah

$C_{32} = (-1)^{3+2} M_{32}$

$= -1\begin{vmatrix} 2&3\\ 0&5 \end{vmatrix} = -1(2(5)-0(3)) = -10$

Kofaktor dari $a_{33}$ adalah

$C_{33} = (-1)^{3+3} M_{33}$

$= \begin{vmatrix} 2&-1\\ 0&4 \end{vmatrix} = 2(5)-0(3) = 10$

Oleh karena itu, matriks kofaktor dari $A$ adalah $\begin{bmatrix} 11&10&-8\\ 7&2&0\\ -17&-10&10 \end{bmatrix}$ . Karena $Adj(A)$ adalah transpose dari matriks kofaktor, berakibat $Adj(A) = \begin{bmatrix} 11&7&-17\\ 10&2&-10\\ -8&-4&10 \end{bmatrix}$ . Sehingga diperoleh invers matriks $A$ adalah $A^{-1} = -\dfrac{1}{12} \begin{bmatrix} 11&7&-17\\ 10&2&-10\\ -8&-4&10 \end{bmatrix}$ .

Contoh 2.

Tentukan invers matriks dari $B = \begin{bmatrix} 8&-3&-5\\ 0&1&2\\ 4&-7&6 \end{bmatrix}$ .

Pada contoh ini, kita akan Menghitung Determinan Matriks Menggunakan Kofaktor. Tapi sebelumnya akan ditentukan Kofaktor matriks $B$ .

Kofaktor dari $a_{11}$ adalah

$C_{11} = (-1)^{1+1} M_{11}$

$= \begin{vmatrix} 1&2\\ -7&6 \end{vmatrix} = 1(6)-2(-7) = 20$

Kofaktor dari $a_{12}$ adalah

$C_{12} = (-1)^{1+2} M_{12}$

$= -1\begin{vmatrix} 0&2\\ 4&6 \end{vmatrix} = -1(0(6)-2(4)) = 8$

Kofaktor dari $a_{13}$ adalah

$C_{13} = (-1)^{1+3} M_{13}$

$= \begin{vmatrix} 0&1\\ 4&-7 \end{vmatrix} = 0(-7)-1(4) = -4$

Kofaktor dari $a_{21}$ adalah

$C_{21} = (-1)^{2+1} M_{21}$

$= -1\begin{vmatrix} -3&-5\\ -7&6 \end{vmatrix} = -1(-3(6)-(-7)(-5)) = -17$

Kofaktor dari $a_{22}$ adalah

$C_{22} = (-1)^{2+2} M_{22}$

$= \begin{vmatrix} 8&-5\\ 4&6 \end{vmatrix} = 8(6)-4(-5) = 68$

Kofaktor dari $a_{23}$ adalah

$C_{23} = (-1)^{2+3} M_{23}$

$= -1\begin{vmatrix} 8&-3\\ 4&-7 \end{vmatrix} = -1(8(-7)-4(-3)) = 44$

Kofaktor dari $a_{31}$ adalah

$C_{31} = (-1)^{3+1} M_{31}$

$= \begin{vmatrix} -3&-5\\ 1&2 \end{vmatrix} = -3(2)-1(-5) = -1$

Kofaktor dari $a_{32}$ adalah

$C_{32} = (-1)^{3+2} M_{32}$

$= -1\begin{vmatrix} 8&-5\\ 0&2 \end{vmatrix} = -1(8(2)-0(-5)) = -16$

Kofaktor dari $a_{33}$ adalah

$C_{33} = (-1)^{3+3} M_{33}$

$= \begin{vmatrix} 8&-3\\ 0&1 \end{vmatrix} = 8(1)-0(-3)) = 8$

Oleh karena itu, diperoleh

$det(B) = a_{21}C_{21} + a_{22}C_{22} + a_{23}C_{23}$

$= 0(-17) + 1(68) + 2(44)$

$= 68+88$

$= 156$

Selanjutnya diperoleh matriks kofaktor dari $B$ adalah $\begin{bmatrix} 20&8&-4\\ -17&68&44\\ -1&-16&8 \end{bmatrix}$ . Karena $Adj(A)$ adalah transpose dari matriks kofaktor, berakibat $Adj(B) = \begin{bmatrix} 20&-17&-1\\ 8&68&-16\\ -4&-16&8 \end{bmatrix}$ . Sehingga diperoleh invers matriks $B$ adalah $B^{-1} = \dfrac{1}{156} \begin{bmatrix} 20&-17&-1\\ 8&68&-16\\ -4&-16&8 \end{bmatrix}$ .

Contoh 3.

Tentukan invers matriks dari $C = \begin{bmatrix} 1&-1&1\\ 2&3&0\\ 0&2&-1 \end{bmatrix}$ .

Pada contoh ini, kita akan Menghitung Determinan Matriks dengan Eselon Baris. Perhatikan,

1. Baris Kedua : $B_2-2B_1$

$\begin{bmatrix} 1&-1&1\\ 0&5&-2\\ 0&2&-1 \end{bmatrix}$

2. Baris Ketiga : $B_3-\dfrac{2}{5}B_2$

$\begin{bmatrix} 1&-1&1\\ 0&5&-2\\ 0&0&-\dfrac{1}{5} \end{bmatrix}$

Jadi, $set(B) = 1 \cdot 5 \cdot -\dfrac{1}{5} = -1$

Selanjutnya akan ditentukan Kofaktor matriks $B$ .

Kofaktor dari $a_{11}$ adalah

$C_{11} = (-1)^{1+1} M_{11}$

$= \begin{vmatrix} 3&0\\ 2&-1 \end{vmatrix} = 3(-1)-0(2) = -3$

Kofaktor dari $a_{12}$ adalah

$C_{12} = (-1)^{1+2} M_{12}$

$= -1\begin{vmatrix} 2&0\\ 0&-1 \end{vmatrix} = -1(2(-1)-0(0)) = 2$

Kofaktor dari $a_{13}$ adalah

$C_{13} = (-1)^{1+3} M_{13}$

$= \begin{vmatrix} 2&3\\ 0&2 \end{vmatrix} = 2(2)-3(0) = 4$

Kofaktor dari $a_{21}$ adalah

$C_{21} = (-1)^{2+1} M_{21}$

$= -1\begin{vmatrix} -1&1\\ 2&-1 \end{vmatrix} = -1(-1(-1)-1(2)) = 1$

Kofaktor dari $a_{22}$ adalah

$C_{22} = (-1)^{2+2} M_{22}$

$= \begin{vmatrix} 1&1\\ 0&-1 \end{vmatrix} = 1(-1)-1(0) = -1$

Kofaktor dari $a_{23}$ adalah

$C_{23} = (-1)^{2+3} M_{23}$

$= -1\begin{vmatrix} 1&-1\\ 0&2 \end{vmatrix} = -1(1(2)-0(-1)) = -2$

Kofaktor dari $a_{31}$ adalah

$C_{31} = (-1)^{3+1} M_{31}$

$= \begin{vmatrix} -1&1\\ 3&0 \end{vmatrix} = -1(0)-1(3) = -3$

Kofaktor dari $a_{32}$ adalah

$C_{32} = (-1)^{3+2} M_{32}$

$= -1\begin{vmatrix} 1&1\\ 2&0 \end{vmatrix} = -1(1(0)-1(2)) = 2$

Kofaktor dari $a_{33}$ adalah

$C_{33} = (-1)^{3+3} M_{33}$

$= \begin{vmatrix} 1&-1\\ 2&3 \end{vmatrix} = 1(3)-2(-1) = 5$

Oleh karena itu, diperoleh matriks kofaktor dari $C$ adalah $\begin{bmatrix} -3&2&4\\ 1&-1&-2\\ -3&2&5 \end{bmatrix}$ . Karena $Adj(A)$ adalah transpose dari matriks kofaktor, berakibat $Adj(C) = \begin{bmatrix} -3&1&-3\\ 2&-1&2\\ 4&-2&5 \end{bmatrix}$ . Sehingga diperoleh invers matriks $B$ adalah $B^{-1} = \dfrac{1}{-1} \begin{bmatrix} -3&1&-3\\ 2&-1&2\\ 4&-2&5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3&-1&3\\ -2&1&-2\\ -4&2&-5 \end{bmatrix}$ .

B.Operasi Elementer Baris

uatu matriks dapat dibalik jika dan hanya jika matriks tersebut adalah matriks persegi (matriks yang berukuran n x n) dan matriks tersebut non-singular (determinan $\neq$ 0). Tidak semua matriks memiliki invers. Invers matriks dapat didefinisikan sebagai berikut.

Definisi :

Jika A adalah suatu matriks kuadrat, dan jika kita dapat mencari matriks B sehingga AB = BA = I, maka A dikatakan dapat dibalik (invertible) dan B dinamakan invers dari A

Contoh 1 :

Hitung invers matriks A_2×2 berikut A = $\left [ \begin{array}{rr}3 & 5\\ 1 & 2\end{array} \right ]$ .

Penyelesaian :

Jika kita punya matriks 2×2, misal A = $\left [ \begin{array}{rr}a & b\\ c & d\end{array} \right ]$ , maka invers matriks dapat dihitung menggunakan rumus

A^-1 = B = $\frac{1}{det \quad A}$ $\left [ \begin{array}{rr}d & -b\\ -c & a\end{array} \right ]$

= $\frac{1}{3(2)-5(1)}$ $\left [ \begin{array}{rr}2 & -5\\ -1 & 3\end{array} \right ]$

= $\left [ \begin{array}{rr}2 & -5\\ -1 & 3\end{array} \right ]$

Cek, apakah AB = BA = I

AB = $\left [ \begin{array}{rr}3 & 5\\ 1 & 2\end{array} \right ]$ $\left [ \begin{array}{rr}2 & -5\\ -1 & 3\end{array} \right ]$ = $\left [ \begin{array}{rr}1 & 0\\ 0 & 1\end{array} \right ]$ = I

BA = $\left [ \begin{array}{rr}2 & -5\\ -1 & 3\end{array} \right ]$ $\left [ \begin{array}{rr}3 & 5\\ 1 & 2\end{array} \right ]$ = $\left [ \begin{array}{rr}1 & 0\\ 0 & 1\end{array} \right ]$ = I

Karena AB = BA = I, maka berdasarkan Definisi, B adalah invers dari matriks A.

Bagaimana cara menghitung invers jika matriksnya memiliki ordo lebih dari 2? Misal matriks 3×3, 4×4, dan seterusnya. Pada matriks yang berordo lebih dari dua ini kita akan memanfatkan Eliminasi Gauss Jordan.

Contoh 2 :

Carilah invers matriks 3×3 yaitu A = $\left [\begin{array}{rrr} 1& 2& 3\\ 2& 5& 3\\ 1& 0& 8 \end{array} \right ]$

Penyelesaian :

Susun matriks sedemikian sehingga seperti dibawah ini.

$\left[ \left.\begin{matrix} 1& 2& 3\\ 2& 5& 3\\ 1& 0& 8 \end{matrix}\right| \begin {array}{rrr} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end {array}\right]$

Matriks disebelah kiri adalah matriks A dan sebelah kanan adalah matriks identitas. Kemudian lakukan Operasi Baris Elementer sedemikan sehingga matriks sebelah kiri menjadi matriks identitas dan matriks identitas (pada sebelah kanan) yang akan menjadi invers matriks tersebut.

baris kedua : B₂ + (-2B₁) [artinya baris kedua dijumlahkan dengan -2 kali baris pertama]

baris ketiga : B₃ + (-B₁) [artinya baris kedua dijumlahkan dengan -1 kali baris pertama]

$\left[ \left.\begin{matrix} 1& 2& 3\\ 0& 1& -3\\ 0& -2& 5 \end{matrix}\right| \begin {array}{rrr} 1& 0& 0\\ -2& 1& 0\\ -1& 0& 1\end {array}\right]$
baris ketiga : B₃ + 2B₂ [artinya baris ketiga dijumlahkan dengan 2 kali baris kedua]

$\left[ \left.\begin{matrix} 1& 2& 3\\ 0& 1& -3\\ 0& 0& -1 \end{matrix}\right| \begin {array}{rrr} 1& 0& 0\\ -2& 1& 0\\ -5& 2& 1\end {array}\right]$
baris ketiga : B₃ x (-1) [artinya baris ketiga dikali dengan -1]

$\left[ \left.\begin{matrix} 1& 2& 3\\ 0& 1& -3\\ 0& 0& 1 \end{matrix}\right| \begin {array}{rrr} 1& 0& 0\\ -2& 1& 0\\ 5& -2& -1\end {array}\right]$
baris kedua : B₂ + 3B₃ [artinya baris kedua dijumlahkan dengan 3 kali baris ketiga]

baris pertama : B₁ + (-3B₃) [artinya baris pertama dijumlahkan dengan -3 kali baris ketiga]

$\left[ \left.\begin{matrix} 1& 2& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{matrix}\right| \begin {array}{rrr} -14& 6& 3\\ 13& -5& -3\\ 5& -2& -1\end {array}\right]$
baris pertama : B₁ + (-2B₂) [artinya baris pertama dijumlahkan dengan -2 kali baris kedua]

$\left [ \left.\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{matrix}\right|\begin{matrix} -40& 16& 9\\ 13& -5& -3\\ 5& -2& -1 \end{matrix} \right ]$

$\left[ \left.\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{matrix}\right| \begin {array}{rrr} -40& 16& 9\\ 13& -5& -3\\ 5& -2& -1\end {array}\right]$

Karena matriks kiri sudah terbentuk menjadi matriks identitas, maka invers dari matriks A adalah A^-1 = $\left [\begin{matrix} -40& 16& 9\\ 13& -5& -3\\ 5& -2& -1 \end{matrix} \right ]$

Contoh 3 :

Periksa apakah matriks A_3×3 memiliki invers? Jika, tentukan inversnya, dengan A = $\left [\begin{matrix} 3& 1& 5\\ 2& 4& 1\\ -4& 2& -9 \end{matrix} \right ]$ .

Penyelesaian :

Susun matriks sedemikian sehingga seperti dibawah ini, kemudian lakukan Operasi Baris Elementer

$\left [ \left.\begin{matrix} 3& 1& 5\\ 2& 4& 1\\ -4& 2& -9\end{matrix}\right|\begin{matrix} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{matrix} \right ]$

baris pertama : B₁ x (1/3)

$\left [ \left.\begin{matrix} 1& 1/3& 5/3\\ 2& 4& 1\\ -4& 2& -9\end{matrix}\right|\begin{matrix} 1/3& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{matrix} \right ]$
baris kedua : B₂ + (-2B₁)

baris ketiga : B₃ + 4B₁

$\left [ \left.\begin{matrix} 1& 1/3& 5/3\\ 0& 10/3& -7/3\\ 0& 10/3& -7/3\end{matrix}\right|\begin{matrix} 1/3& 0& 0\\ -2/3& 1& 0\\ 4/3& 0& 1 \end{matrix} \right ]$

Perhatikan matriks sebebelah kiri pada baris kedua dan ketiga. Karena baris kedua dan ketiga memiliki entry yang sama, ini mengakibatkan matriks tersebut memiliki dterminannya nol, sehingga matriks tersebut tidak memiliki invers.

MATRIKS

Minggu, 11 November 2018

METODE PERKALIAN MATRIKS ELEMENTER DAN METODE PARTISI MATRIKS

Senin, 08 Oktober 2018

TEKNIK MENGHITUNG INVERS MATRIKS

METODE PERKALIAN MATRIKS ELEMENTER DAN METODE PARTISI MATRIKS

Laporkan Penyalahgunaan